L'IA Claude d'Anthropic formalise le théorème de Fermat en 13 millions de lignes
L'IA Claude d'Anthropic a formalisé le dernier théorème de Fermat en 11 jours, générant une preuve de 13 millions de lignes de code en Lean. Ce travail colossal a été publié sur GitHub pour vérification.
La start-up d'intelligence artificielle Anthropic a annoncé une avancée scientifique majeure. Son modèle d'IA, Claude, a généré en seulement 11 jours une preuve formelle complète du dernier théorème de Fermat. Selon l'entreprise, il s'agit de la preuve mathématique la plus longue jamais construite à ce jour, totalisant 13 millions de lignes de code.
Pour réaliser cet exploit, Claude a rédigé la preuve en Lean, un langage de programmation et un assistant de preuve conçu pour formuler les mathématiques de manière vérifiable par un ordinateur. Contrairement aux textes mathématiques traditionnels destinés aux humains, Lean décompose le raisonnement en étapes logiques élémentaires qu'une machine peut valider de manière absolue.
Le contexte historique du théorème de Fermat
Le dernier théorème de Fermat stipule qu'il n'existe pas de nombres entiers strictement positifs $x$, $y$ et $z$ satisfaisant l'équation $x^n + y^n = z^n$ dès que $n$ est un entier strictement supérieur à 2. Le mathématicien français Pierre de Fermat a formulé cette conjecture en 1637 dans la marge d'un exemplaire de l'Arithmétique de Diophante, affirmant en détenir une « merveilleuse démonstration » que la marge était trop étroite pour contenir. Il est mort sans laisser de traces de cette preuve, plongeant les mathématiciens dans 358 ans de recherches.
La première démonstration validée n'a été publiée qu'en 1995 par le mathématicien britannique Andrew Wiles. Après avoir annoncé sa solution en juin 1993, Andrew Wiles a dû corriger une faille majeure avec l'aide de son ancien élève Richard Taylor. Leur preuve finale de 129 pages reposait sur des outils mathématiques du XXe siècle inexistants à l'époque de Fermat, ce qui laisse planer un doute historique quant à la validité de la démonstration originale du savant français.
Auto-formalisation et collaboration d'agents IA
L'expérience a été menée par Tianyi Peng, chercheur à l'Université de Columbia, qui développe des outils de formalisation basés sur l'IA. Des dizaines d'agents Claude ont travaillé en parallèle pour rédiger des définitions, prouver des lemmes intermédiaires et les assembler. L'intervention humaine est restée minimale, se limitant à orienter l'ordre des tâches.
Kevin Buzzard, professeur à l'Imperial College de Londres et directeur du projet de formalisation du théorème de Fermat, a salué cette réussite :
« L'auto-formalisation consiste à traduire une preuve mathématique humaine en un code vérifiable par ordinateur. Le fait que Claude ait réussi ce processus sur une preuve aussi complexe montre que cette technologie pourrait bientôt formaliser de larges pans des mathématiques modernes. »
Défis techniques et résultats
Le projet a rencontré des difficultés initiales. Au départ, les agents perdaient le fil des lemmes déjà prouvés et manquaient de coordination. Ces tentatives infructueuses représentent encore environ 7 % du code final. L'équipe de Peng a résolu ce problème grâce à un outil nommé Prove2Me, qui gérait une liste de tâches en temps réel, optimisait les fichiers pour Lean et permettait aux agents de partager des notes explicatives en anglais.
Au total, Claude a démontré plus de 30 000 théorèmes auxiliaires et consommé des milliards de tokens sur un modèle de recherche similaire à Claude Fable 5.1. La preuve finale de 13 millions de lignes est cinq fois plus volumineuse que Mathlib, la bibliothèque de référence de la communauté mathématique. L'intégralité du code a été publiée sur GitHub pour être analysée par la communauté scientifique.
